BILANGAN BULAT

A. Bilangan bulat

1.Pengertian Bilangan Bulat

           Bilangan Bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat negatif {...,-3,-2,-1}, nol {0}, dan      himpunan bilangan bulat positif {1,2,3,...}

2. Penggunaan Bilangan Bulat dalam kehidupan sehari-hari

    kapal selam digunakan untuk kepentingan penjagaan, perang, dan operasi-operasi   penyelamatan. Oleh karena itu, para penyelam dan kapten kapal selam perlu mengetahui  tingkat kedalaman laut. jika permukaan air laut dinyatakan 0 meter maka tinggi di atas permukaan air laut dinyatakan denagn bilangan positif dan kedalaman di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilanagan negatif. Misalnya, kedalaman 10 m di bawah permukaan laut ditulis -10 m.

 3. Letak Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

     Pada garis bilangan, letak bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut.
Pada garis bilangan diatas, bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan bulat positif, sedangkan bilangan -1,-2,-3,-4,-5,.. disebut bilangan bulat negatif. Bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol, sedangkan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

4. Menyatakan hubungan antara dua bilangan bulat

 
Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan makin besar nilainya. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan, makin kecil nilainya. Sehingga dapat dikatakan bahwa untuk setiap p,q bilangan bulat berlaku

a.      Jika p terletak di sebelah kanan q maka p > q

b.      Jika p terletak di sebelah kiri q maka p < q

B. Operasi hitung pada bilangan bulat

1.Penjumlahan pada Bilangan Bulat

            a. Penjumlahan dengan alat bantu

Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat di gunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang di jumlahkan di gambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut.

Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebalikny, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

 

b.Penjumlahan tanpa alat bantu

Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat di lakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat di lakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

              1.     Kedua bilangan bertanda sama 

      jika kedua bilangan bertanda sama (bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

               2.      Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

 2.Sifat- sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

        a. Sifat tertutup

  Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a+b=c  dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat Komutatif

Sifat Komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut di pertukarkan tempatnya. Hal ini dapat di tuliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a+b=b+a

c. Mempunyai unsur identitas

   Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sembarang bilangan bulat apabila di tambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

   Untuk sembarang bilangan bulat a, selalu berlaku a+0=0+a=a

d. Sifat asosiatif

   Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokkan. Sifat ini dapat dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a,b,dan c, berlaku (a+b)+c=a+(b+c).

e. Mempunyai invers

   Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan di katakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya)merupakan unsur identitas(0(nol)).

   Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

   Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku a+(-a)=(-a)+a=0

3. Pengurangan pada Bilangan Bulat

   Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat di gunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

Perhatikan uraian berikut.

a.      Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengarang

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.

secara umum dapat dituliskan sebagai berikut

untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku a-b=a+(-b)

b. Pengurangan dengan alat bantu

Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

Contoh:

4. Perkalian pada Bilangan Bulat

         Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut.

                        4 x 5 = 5+5+5+5=20
                        5 x 4 = 4+4+4+4+4=20

         Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 x 5 dan 5 x 4 berbeda artinya. Secara  umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

            Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka
                         n x a = a +a+a+..+a

a.Menghitung hasil perkalian bilangan bulat

           Perhatian uraian berikut
           2 x 4 = 4 + 4 = 8
          -2 x 4 = -(2 x 4) = -(4 + 4)= -8
          2 x (-2) = (-2) + (-2) = -4
          (-2) x (-3) = -(2 x (-3)) = -((-3) + (-3)) = 6
       Jika kalian mengamati perkalian bilangan di atas, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
        Jika p dan q adalah bilangan bulat maka

1)      P x q = pq

2)      (-p) x q = -(p x q) = -pq

3)      P x (-q) = -(p x q) = -pq

4)      (-p) x (-q) = p x q = p

b.      Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat

1.      Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat p dan q, selalu berlaku p x q = r dengan r juga bilangan bulat.
contoh:
3 x 8 = 24 
(-3) x 8 =-24

2.      Sifat  komutatif

Untuk setiap bilangan bulat p dan q selalu berlaku p x q = q x p
2 x (-5) =(-5) x 2

(-4) x (-3) =(-3) x (-4)

3.      Sifat  asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat p,q,dan r selalu berlaku (p x q) x r = p x (q x r)
contoh:

(-2 x 6) x 4 = -2 x (6 x 4)

4.      Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap mengerjakan bulat p,q, dan r selalu berlaku p x (q + r) =(p x q ) + (p x r)2 contoh:
x (4 + 3) =(2 x 4) + (2 x 3)
(-3) x (-8 + 5) = ((-3) x -8) + ((-3) x 5)

5.    Sifat distribusi perkalian terhadap pengurangan

   Untuk setiap bilangan bulat p,q, dan r selalu berlaku p x (q – r)= (p x q) – (p x r)
 5 x (8 - (-3)) = (5 x 8) - (5 x -3)

6.     Memiliki elemen identitas

3 x 1 = 1 x 3 = 3

1 x (-4) =...

       Untuk setiap bilangan bulat p, selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p

        Elemen identitas pada perkalian adalah 1.

5. Pembagian Bilangan Bulat

a. Pembagian sebagai operasi kebalikan dari perkalian

      Perhatikan uraian berikut.

(i)                 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12

             Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis  3 x 4 =12 ó 12 : 3 = 4

(ii)               4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 =12

Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat di tulis 4 x 3 = 12 ó 12 : 4 = 3

Dari uraian di atas, tampak bahwa pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat di tulis sebagai berikut.

Jika p,q dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q ¹ 0 maka berlaku p : q =r ó p = q x r

b. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat

Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.

Untuk setiap p,q,r bilangan bulat, q ¹ 0 dan memenuhi p : q = r berlaku

(i)              Jika p,q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif;

(ii)            Jika p,q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.

c.       Pembagian dengan bilangan nol

      Untuk menentukan hasil pembagian bilangan bulat dengan bilangan nol (0), ingat kembali perkalian bilangan bulat dengan bilangan nol. Untuk setiap a bilangan bulat berlaku a x 0 = 0 ó 0 : a = 0

Jadi dapat dituliskan sebagai berikut.

      Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a ¹ 0

      Hal ini tidak berlaku jika a = o, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.

d.      Sifat pembagian pada bilangan bulat

      Apakah pembagian pada bilangan bulat bersifat tertutup?

 Perhatikan bahwa 15 : 3 = 5            

                                          8 : 2 = 4

                                          2 : 2 = 1

      Sekarang , berapakah nilai dari 4 : 3

      Apakah kalian menemukan nilai dari 4 : 3 merupakan bilangan bulat?

      Jawabannya adalah tidak ada. Karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi, maka hal ini sudah cukup untuk menyatakan bahwa pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

      Sekarang  perhatikan bahwa 8 : 2 = 4,  apakah ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8? karena tidak ada bilangan bulat yang memenuhi 2 : 8, maka pada pembagian tidak berlaku sifat komulatif.

      Untuk mengetahui apakah pada pembagian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, perhatikan bahwa (12 : 6 ) : 2 = 1 tetapi  12 : (6 :2 ) = 4

      Dari contoh di atas, dapat di ketahui bahwa pada pembagian bilangan bulat tidak berlaku sifat asosiatif.